Problème d'anniversaires mercuriens

Toutes les probabilités seront arrondies au centième.

Comme le sait tout Mercurien, l'année mercurienne dure 88 jours. Les jours de l'année sont simplement appelés jour n° 1, jour n° 2... jusqu'au jour n° 88, dernier jour de l'année.

On suppose que les naissances sur Mercure sont uniformément réparties sur toute l'année et qu'elles sont indépendantes les unes des autres. De plus, il n'y a pas de jumeaux sur cette planète.

1. Deux Mercuriens se rencontrent. Montrer que la probabilité qu'ils ne soient pas nés le même jour est égal à \(\dfrac{88}{88}\times\dfrac{87}{88}\) .

Les mathématiciens mercuriens ont montré que la probabilité  \(p(n)\) pour qu'au moins deux élèves d'une même classe composée de \(n\) élèves  ( \(n \geqslant 2\) ) aient la même date anniversaire est donnée par la formule :

                        \(p(n)=1-\dfrac{88\times 87\times \cdots\times (89-n)}{88^n}\) .

2. En utilisant la calculatrice, calculer  \(p(18)\) . Quelle interprétation peut-on faire de cette probabilité ?

3. a. Calculer \(p(89)\) .

    b. Expliquer pourquoi le résultat de la question précédente était prévisible.

4. En utilisant les renseignements donnés dans la capture d'écran suivante, ouvrir une page de calcul et construire un tableau donnant les différentes valeurs de  \(p(n)\) .

5. Dans toutes les classes mercuriennes, il y a moins d'une chance sur deux pour qu'au moins deux élèves soient nés le même jour. Déterminer le nombre maximal d'élèves dans une classe mercurienne.